一个PDE问题
2022-11-01 / Tuo Wang
Problem考虑如下方程
\begin{align}
-\Delta u + \sin |x| \ u(x) &= (N + 1)|x| \cos (\pi |x|) ,\quad x\in B\tag{1}\\
u(x) &= 0, \quad x\in \partial B\tag{2}
\end{align}其中 $B$ 为$\mathbb{R}^N\ (N\ge 3)$中的单位球体，设$u\in C^2(\overline B)$为问题$(1)-(2)$ 的解，证明：
\Big|\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x)\Big|\le 1,\quad x\in \partial B其中 $\nu$ 为$\partial B$的单位外法向量
注：原题让证明 $\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\ge 1,\ x\in \partial B$ 是不可能的……