Group actions and some applications……

Abstract algebraGroup theoryGroup actions and some applications……

Some methods to prove that $A_4$ contains no subgroup of order 6……

Some methods to prove that $A_4$ contains no subgroup of order 6.Definition 1Let $\sigma$ be a permutation in $S_n$ , write $\sigma$ as the product of disjoint cycles , and the form of $\sigma$ is said to be $1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots n^{\lambda_r}$ if there are $\lambda_r$ cycles of length $r$,($1\le r\le n$). Example 1The form of the permutation $\sigma=(1\quad 2\quad 3)(4\quad 5) $ in $ S_7$ is $1^22^13^14^05^06^07^0=1^22^13^1$……

抽象代数群论群同态基本定理，对应定理等的一些应用举例题目一：设N是群G的正规子群，证明：N是G的极大正规子群的充要条件是$ G/N $是单群……

抽象代数群论有限Abel群是循环群的一些充要条件引理：设$a$是有限Able群G中阶最大的元素，即 o(a)=max\{o(g)|g\in G\}则对任意的$g\in G$，有$o(g)|o(a)$，其中$o(a)$表示$a$的阶（周期） 由此可知$o(a)$是G中所有元素的阶的最小公倍数……

抽象代数 群论有关自同构群的一些问题问题一：若G是无限循环群，则$ AutG $为2阶循环群……

抽象代数群论与商群有关的一类问题问题一：设G是群，H是G的正规子群，若H在G中的指数$ [G:H]=n $有限，则$\forall x\in G\text{有} x^n\in H $ 证明：考虑商群$G/H$，由于$ |G/H|=[G:H]=n $，而$ xH\in G/H $，故$ x^nH=(xH)^n=H $ 故$ x^n\in H $……

抽象代数群论正规子群的一些判定方法方法一：设H是群G的子群，则$ H\lhd G \Leftrightarrow \forall g\in G $ ，有$ gH=Hg~(\text{或}gHg^{-1}=H) $ 方法二：设H是群G的子群，，则$ H\lhd G \Leftrightarrow \forall g\in G,h\in H $ ，有$ ghg^{-1}\in H $……

抽象代数群论陪集分解与Lagrange定理定义：陪集分解设H是群G的子群，设H在G中的指数为r,即$[G:H]=r$，则称 G=a_0 H\cup a_1 H\cup \cdots\cup a_{r-1} H其中$a_0=e$，$a_i H\cap a_j H=\varnothing $，为群G关于其子群H的陪集分解……