神奇的矩阵之门

首先，我们给出如下结果。

定理1：设 $A$ 是 $m$ 阶方阵， $B$ 是 $n$ 阶方阵，则矩阵方程 $AX=XB$ 只有零解当且仅当矩阵 $A$ 与 $B$ 无公共特征值。

证明：先证充分性，设 $f(x)$ 是矩阵 $A$ 的特征多项式，则根据Cayley-Hamilton定理知 $f(A) = 0$. 根据 $AX=XB$ 知

$$A^2X = A(AX) = A(XB) = (AX)B = (XB)B = XB^2.$$

依次类推，可由数学归纳法证明对任意的正整数 $k$，都有 $A^kX = XB^k$，进而

$$O = f(A)X = Xf(B).$$

欲证矩阵方程 $AX=XB$ 只有零解，只需证明 $f(B)$ 可逆。设 $g(x)$ 是矩阵 $B$ 的特征多项式，则根据Cayley-Hamilton定理知 $g(B) = 0$. 此外，根据矩阵 $A$ 与 $B$ 无公共特征值知 $(f,g) = 1$，从而存在多项式 $u(x),v(x)$ 使得

$$u(x)f(x)+v(x)g(x) = 1.$$

代入矩阵 $B$，可知

$$u(B)f(B) = u(B)f(B)+v(B)g(B) = I.$$

从而 $f(B)$ 可逆，故$X = O$.

​ 再证必要性，采用反证法，假设 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 与 $B$ 的公共特征值，而 $B^T$ 与 $B$ 的特征值相同，因此 $\lambda$ 也是矩阵 $B^T$ 的特征值，设 $\alpha,\beta$ 分别是矩阵 $A$ 与 $B^T$ 的特征向量，令$X_0 = \alpha\beta^T\neq 0$，则

$$AX_0 = (A\alpha)\beta^T = (\lambda\alpha)\beta^T = \alpha(\lambda\beta)^T = \alpha(B^T\beta)^T = (\alpha\beta^T)B = X_0B.$$

可见 $X_0$ 是矩阵方程 $AX=XB$ 的非零解，矛盾，因此矩阵 $A$ 与 $B$ 无公共特征值。

注：此定理可将矩阵 $X$ 视作一个门，矩阵 $A$ 从这个门进入，矩阵 $B$ 从这个门出来，则这个门是非退化的当且仅当矩阵 $A$ 与 $B$ 有公共特征值。

下面，我们介绍几个关于此定理的一些应用。

例1：设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵，它们的特征值均大于 $0$，证明：$A^2 = B^2$ 当且仅当 $A = B$.

证明：充分性显然，下证必要性。根据 $A,B$ 的特征值均大于 $0$ 知矩阵 $A$ 与矩阵 $-B$ 无公共特征值，而根据

$$A(A-B) = A^2-AB = B^2-AB = (A-B)(-B)$$

及定理1知 $A-B = O$，即 $A = B$.

例2：设 $A$ 是 $m$ 阶方阵， $B$ 是 $n$ 阶方阵，$V$ 是全体 $m\times n$ 阶矩阵构成的向量空间，定义映射 $\varphi: V\to V$，满足 $\varphi(X) = AX-XB$，则 $\varphi$ 是同构当且仅当矩阵 $A$ 与 $B$ 无公共特征值。

证明：显然 $\varphi$ 是线性映射，且根据 $V$ 是有限维线性空间知 $\varphi$ 是同构 $\iff\varphi$ 是单射$\iff$ker $\varphi = \{O\}\iff $矩阵方程 $AX=XB$ 只有零解$\iff$矩阵 $A$ 与 $B$ 无公共特征值。

例3：设 $A$ 是 $m$ 阶方阵， $B$ 是 $n$ 阶方阵， $A$ 与 $B$ 无公共特征值，且 $A,B$ 均可对角化，证明：矩阵 $M = \begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}$ 可对角化。

证明：由例2可知，存在 $m\times n$ 阶矩阵 $X$，使得$AX-XB = C$， 由 $A,B$ 均可对角化，设$P^{-1}AP,Q^{-1}BQ$ 均为对角阵。根据

$$\begin{pmatrix}I&X\\O&I\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}I&-X\\O&I\end{pmatrix},$$

以及

$$\begin{pmatrix}I&X\\O&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&-X\\O&I\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A&-AX+XB+C\\O&B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix},$$

可知

$$\begin{pmatrix}P^{-1}&O\\O&Q^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&X\\O&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&-X\\O&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P&O\\O&Q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}P^{-1}AP&O\\O&Q^{-1}BQ\end{pmatrix}$$

是对角阵。即取

$$R = \begin{pmatrix}I&-X\\O&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P&O\\O&Q\end{pmatrix},$$

有 $R^{-1}MR$ 是对角阵。

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2024/05/18/matrix-equation/