一个PDE问题

Problem

考虑如下方程

$$\begin{align} -\Delta u + \sin |x| \ u(x) &= (N + 1)|x| \cos (\pi |x|) ,\quad x\in B\tag{1}\\ u(x) &= 0, \quad x\in \partial B\tag{2} \end{align}$$

其中 $B$ 为$\mathbb{R}^N\ (N\ge 3)$中的单位球体，设$u\in C^2(\overline B)$为问题$(1)-(2)$ 的解，证明：

$$\Big|\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x)\Big|\le 1,\quad x\in \partial B$$

其中 $\nu$ 为$\partial B$的单位外法向量

注：原题让证明 $\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\ge 1,\ x\in \partial B$ 是不可能的

一些简单的计算准备

引理1

记$g(x) = |x|^k,\ x\in B$

（1）

$$\Delta g = k(k+N-2)|x|^{k-2}$$

其中$\Delta$为Laplace算子

（2）

$$\dfrac{\partial g}{\partial \nu}(x) = k,\quad x\in \partial B$$

其中 $\nu$ 为$\partial B$的单位外法向量

证明：The proof is left as an exercise for the reader.

下面开始对原问题的证明，首先观察到$(1)$ 中的$(N+1)$，因此我们考虑$|x|^3$，于是得到了如下的相对精确的估计

对解的估计

引理2

如上Problem中的 $u\in C^2(\overline B)$ 的解，有如下估计式成立

$$|u(x)|\le \dfrac{1-|x|^3}{3},\quad x\in \overline{B}$$

证明：

定义线性椭圆算子

$$\mathcal{L} u = -\Delta u + \sin |x| \ u(x),\quad x\in B$$

（1）首先我们证明：

$$u(x)\le \dfrac{1-|x|^3}{3},\quad x\in \overline{B}$$

令 $v(x) = \dfrac{1-|x|^3}{3}$，我们有 $v(x)\ge 0,\ \Delta v = -(N+1)|x|$

$$\mathcal{L} v = -\Delta v + \sin |x| \ v(x) = (N+1)|x|+\sin |x| \ v(x)\ge (N+1)|x|\ge (N + 1)|x| \cos (\pi |x|) = \mathcal{L} u$$

且

$$v(x) = u(x) = 0,\quad x\in \partial B$$

根据比较原理，我们有

$$v(x)\ge u(x),\quad x\in \overline{B}$$

故（1）得证

（2）其次我们证明：

$$u(x)\ge \dfrac{|x|^3-1}{3},\quad x\in \overline{B}$$

令 $w(x) = \dfrac{|x|^3-1}{3}$，我们有 $v(x)\le 0,\ \Delta w = (N+1)|x|$

$$\mathcal{L} w = -\Delta w + \sin |x| \ w(x) = -(N+1)|x|+\sin |x| \ w(x)\le -(N+1)|x|\le -(N + 1)|x| \cos (\pi |x|) = \mathcal{L} u$$

且

$$w(x) = u(x) = 0,\quad x\in \partial B$$

根据比较原理，我们有

$$u(x)\ge w(x),\quad x\in \overline{B}$$

故（2）得证

对Problem的证明

证明：

由于

$$\dfrac{\partial v}{\partial \nu}(x) = -1,\quad \dfrac{\partial w}{\partial \nu}(x) = 1,\quad x\in \partial B$$

一方面，对任意的$x\in \partial{B}$

$$\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x) = \lim\limits_{\sigma\to 0^+}\dfrac{u(x)-u(x-\sigma \nu)}{\sigma}\ge \lim\limits_{\sigma\to 0^+}\dfrac{v(x)-v(x-\sigma \nu)}{\sigma}=\dfrac{\partial v}{\partial \nu}(x)=-1$$

另一方面，对任意的$x\in \partial{B}$

$$\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x) = \lim\limits_{\sigma\to 0^+}\dfrac{u(x)-u(x-\sigma \nu)}{\sigma}\le \lim\limits_{\sigma\to 0^+}\dfrac{w(x)-w(x-\sigma \nu)}{\sigma}=\dfrac{\partial w}{\partial \nu}(x)=1$$

因此

$$\Big|\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x)\Big|\le 1,\quad x\in \partial B$$

Summary

• 通过此题可以大致得出这一类问题的证明方法，其中通过引理1的计算和观察是比较重要的
• 本文同时证明了原题中$u(x)\le 1$的部分，并给出了对解得一个更加精确的估计

更进一步的估计

以下证明来自崔华溢同学

引理3

Laplace算子具有正交变换的不变性，即对任意正交矩阵 $T$ 使得$x = Ty$，则$\Delta_x u(x) = \Delta_y u(y)$

证明：

考虑Hessian矩阵，注意到Laplace算子为Hessian矩阵的迹，以及矩阵的迹是相似变化下的不变量立得

引理4

如上Problem的解在正交变化下不变，进而在$\partial B$上$\dfrac{\partial u}{\partial \nu}$处处相等

证明：由引理3以及向量范数在正交变换下不变知方程（1）在正交变换下不变，在由解得唯一性立得

引理5

如上Problem的解$u(x)$满足

$$u(x)\ge |x|^2-1$$

证明：

读者自证不难

对方向导数下界更进一步的估计

$$\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x)\ge 1-\dfrac{2}{N(N+2)},\quad x\in \partial B$$

证明：

根据散度定理

$$\int_{\partial B}\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x)\ dS = \int_B \Delta u(x) dx$$

因此，对方程（1）两边在B上积分，并利用散度定理得

$$-\int_{\partial B}\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x)\ dS +\int_B \sin{|x|}\ u(x) dx = (N+1)\int_B |x|\cos(\pi |x|)dx$$

记$\omega_N$为单位球B的体积，结合引理4，引理5得

$$\begin{align} N\omega_N\dfrac{\partial u}{\partial \nu} &\ge \int_B \sin{|x|}\ (|x|^2-1)dx-(N+1)\int_B |x|\cos(\pi |x|)dx\\ &=N\omega_N\int_0^1\sin r\ (r^2-1)r^{N-1}dr-N\omega_N (N+1)\int_0^1 r^N \cos(\pi r)dr\\ &=N\omega_N[1+\int_0^1\pi \sin(\pi r)r^{N+1}dr-\int_0^1(1-r^2)r^{N-1}\sin rdr]\\ &\ge N\omega_N[1-\int_0^1(1-r^2)r^{N-1}dr]\\ &\ge N\omega_N[1-\dfrac{2}{N(N+2)}] \end{align}$$

因此

$$\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x)\ge 1-\dfrac{2}{N(N+2)},\quad x\in \partial B$$

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2022/11/01/PDE/