商空间理论在矩阵秩的不等式中的应用

商空间在矩阵秩的不等式中的应用

声明：以下总假设V是数域$\mathbb{F}$上的有限维向量空间

定义

设W是V的一个子空间，定义V上的一个等价关系R如下：

$$uRv\iff u-v\in W$$

（容易验证R确实是V上的一个等价关系），并记

$$[u]=\{v\in V|uRv\}$$

为$u$所在的等价类，所有等价类的集合

$$V/W=\{[u]|u\in V\}$$

为V关于W的商集，在该商集上定义加法和数乘如下：（容易验证他们是well-defined)

$$[u]+[v]=[u+v]\\ k[u]=[ku],k\in\mathbb{F}$$

则容易验证$V/W$关于该加法和数乘构成数域$\mathbb{F}$上的向量空间

引理

$$[u]=[v]\iff uRv\\$$

证明：

必要性：

$$u\in[u]=[v]\Longrightarrow uRv$$

充分性：

$$\forall w\in [u]\Longrightarrow wRu,\ uRv\Longrightarrow wRv\Longrightarrow w\in[v]\Longrightarrow [u]\subseteq [v]$$

同理$[v]\subseteq [u]$

因此$[u]=[v]$

推论

$$[w]=[\theta]\iff w\in W$$

定理1

$V/W$是数域$\mathbb{F}$上的有限维向量空间且

$$dimV/W=dimV-dimW$$

证明：

设$dim W=m,\ dimV=n$，设$u_1,\cdots,u_m$是W的一组基，并将其扩充为V的一组基$u_1,\cdots,u_m,u_{m+1},\cdots,u_n$

以下证明：$[u_{m+1}],\cdots,[u_n]$是$V/W$的一组基

首先，$[u_{m+1}],\cdots,[u_n]$线性无关

设有$c_{m+1},\cdots,c_n$使得

$$c_{m+1}[u_{m+1}]+\cdots+c_n[u_n]=[\theta]$$

即

$$[c_{m+1}u_{m+1}+\cdots+c_nu_n]=[\theta]$$

因而

$$c_{m+1}u_{m+1}+\cdots+c_nu_n\in W$$

根据$u_1,\cdots,u_m$是W的一组基知，存在$c_1,\cdots,c_m$使得

$$c_{m+1}u_{m+1}+\cdots+c_nu_n=c_1u_1+\cdots+c_mu_m$$

即

$$(-c_1)u_1+\cdots+(-c_m)u_m+c_{m+1}u_{m+1}+\cdots+c_nu_n=\theta$$

根据$u_1,\cdots,u_m,u_{m+1},\cdots,u_n$是V的基底，线性无关知

$$c_i=0,\ \forall i=1,2,\cdots,n$$

可见$[u_{m+1}],\cdots,[u_n]$线性无关

其次，对任意$[w]\in V/W$，$[w]$可由$[u_{m+1}],\cdots,[u_n]$线性表示

由于$w\in V$，设

$$w=c_1u_1+\cdots c_mu_m+c_{m+1}u_{m+1}+\cdots+c_nu_n$$

从而

$$\begin{align} [w]&=[c_1u_1+\cdots c_mu_m+c_{m+1}u_{m+1}+\cdots+c_nu_n]\\&=[\theta]+\cdots+[\theta]+c_{m+1}[u_{m+1}]+\cdots+c_n[u_n]\\ &=c_{m+1}[u_{m+1}]+\cdots+c_n[u_n] \end{align}$$

因此$[u_{m+1}],\cdots,[u_n]$是$V/W$的一组基，$dimV/W=dimV-dimW$

定理2（同态基本定理）

$V，W$是数域$\mathbb{F}$上的有限维向量空间，设$f:V\longrightarrow W$是线性映射，则

$$V/ker\ f\cong Im\ f$$

证明：

由定理1以及零度定理知

$$dim\ V/ker\ f=dim V-dim\ ker\ f=dim\ Im\ f$$

因而同构

应用1：证明Sylvester不等式

设A是$m\times n$矩阵，B是$n\times p$矩阵，则

$$r(AB)=r(A)+r(B)-n$$

证明：

设$V_A,V_B,V_{AB}$分别是矩阵A，B，AB的零空间，则

$$dim V_A=n-r(A),\ dim V_B=p-r(B),\ dimV_{AB}=p-r(AB)$$

显然$V_B\subseteq V_{AB}$，定义映射$f:V_{AB}\longrightarrow V_A$，满足$f(\alpha)=B\alpha$，则有

$$ker\ f=\{u\in V_{AB}|Bu=0\}=V_{AB}\cap V_B=V_B$$

根据同态基本定理：

$$V_{AB}/V_B\cong Im\ f\subseteq V_A$$

从而

$$dimV_{AB}-dimV_B=dimV_{AB}/V_B= dimIm\ f\le dimV_A$$

即

$$r(B)-r(AB)\le n-r(A)$$

得证

应用2：证明Frobenius不等式

证明：

$$r(ABC)\ge r(AB)+r(BC)-r(B)$$

证明：

记设$V_{ABC},V_B,V_{AB},V_{BC}$分别是矩阵ABC，B，AB，BC的零空间，则

$$V_{BC}\subseteq V_{ABC}\\ dim V_{ABC}-dim V_{BC}=dimV_{ABC}/V_{BC}=r(BC)-r(ABC)\\ V_B\subseteq V_{AB}\\ dim V_{AB}-dimV_B=dimV_{AB}/V_B=r(B)-r(AB)\\$$

作映射$f:V_{ABC}\longrightarrow V_A$，满足$f(u)=BCu$，则

$$ker\ f=\{u\in V_{ABC}|BCu=0\}=V_{ABC}\cap V_{BC}=V_{BC}$$

根据同态基本定理

$$V_{ABC}/V_{BC}\cong Im\ f$$

作映射$g:V_{AB}\longrightarrow V_A$，满足$f(u)=Bu$，则

$$ker\ g=\{u\in V_{AB}|Bu=0\}=V_{AB}\cap V_{B}=V_{B}$$

根据同态基本定理

$$V_{AB}/V_{B}\cong Im\ g$$

且对任意$x\in Im\ f$，存在$u\in V_{ABC}$，使得$x=(BC)u=B(Cu)$，且由于$ABCu=0$知$AB(Cu)=0$，即$Cu\in V_{AB}$，进而$x\in Im\ g$，可见

$$Im\ f\subseteq Im\ g\\ dim Im\ f\le dimIm\ g$$

因而

$$V_{ABC}/V_{BC}\cong Im\ f\subseteq Im\ g\cong V_{AB}/V_{B}\\ r(BC)-r(ABC)=dim\ V_{ABC}/V_{BC}=dim\ Im\ f\le dim\ Im\ g=dim\ V_{AB}/V_{B}=r(B)-r(AB)$$

即

$$r(ABC)\ge r(AB)+r(BC)-r(B)$$

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2022/04/02/quotient-space/