抽象代数
域论
代数元与超越元
命题1
设$E=F(u)$，$u$是F上的超越元，若$K\neq F$且K是E中包含F的子域，则$u$必是K上的代数元
证明：
对任意$v\in K-F$，由于$v\in F(u)$知，存在$f(x),g(x)\in F[x]$使得$v=\dfrac{f(u)}{g(u)}$
因此$h(x)=vg(x)-f(x)$是$F(v)$上满足$h(u)=0$的多项式，且根据$v\notin F$知最高次项系数不为0，从而$h(x)\neq 0$，因此$u$是$F(v)$上的代数元，从而也是K上的代数元
命题2
设E是F的扩域，$a\in E$，又$b\in F(a)$且$b\notin F$
（1）若$a$是F上的代数元，则$b$也是F上的代数元
（2）若$a$是F上的超越元，则$b$也是F上的超越元
证明：
（1）显然成立
（2）由命题一知$a$是$F(b)$上的代数元（取$K=F(b),E=F(a)$），因此$[F(a):F(b)]<\infty$
从而根据$[F(a):F]=[F(a):F(b)][F(b):F]$以及$[F(a):F]=\infty$知必有$[F(b):F]=\infty$
从而$b$也是F上的超越元
命题3
设E是F的扩域，$a,b\in E$，若$a$是F上的超越元，但$a$是$F(b)$上的代数元，则$b$也是$F(a)$上的代数元
证明：
设$p(x)$是$a$在$F(b)$上的n次极小多项式，则$p(a)=0$且存在$f_i(x),g_i(x)\in F[x]$使得
通分取分子可得一$F$上的非零多项式$u(x,y)$满足$u(a,b)=0$，记$v(y)=u(a,y)$则$v(y)$是$F[a]$上的多项式
满足：（1）$v(b)=0$，（2）$v(y)$是非零多项式（这是因为$a$是F上的超越元）
可见$b$也是$F(a)$上的代数元
PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/11/02/field2/