抽象代数
域论
域扩张次数
定理1
设E/F是域扩张，$a$是F上的代数元，则$[F(a):F]=deg f(x)$，其中$f(x)$是$a$的极小多项式
命题1
设设E/F是域扩张，$a$是F上的代数元，$f(x)$是F上的一个首一的多项式，则下列等价
（1）$f(x)$是$a$在域F上的极小多项式
（2）$f(a)=0$ 且$f(x)$在F上不可约
（3）$f(x)$是F上以$a$为根的次数最小的多项式
（4）如果$g(x)$是F上任意一个以$a$为根的多项式，则$f(x)|g(x)$
证明：读者自证不难（doge)
命题2
设E/F是域扩张，且$a$是F上的代数元，则$a$在E上的极小多项式$f(x)$整除$a$在F上的极小多项式$g(x)$
证明：
在E上看，$g(x)$也是E上的多项式，在E中作带余除法，存在$q(x),r(x)\in E[x]$使得
或者$r(x)=0$或者$deg r(x)<degf(x)$
若$r(x)\neq 0$，则有
这与$f(x)$是$a$在E上的极小多项式矛盾，从而必有$f(x)|g(x)$
定理2：维数公式
设E/F是域扩张，K是E中包含F的子域，则
命题3
设$F\subseteq E\subseteq K$ 是三个域，$a\in K$是F上的代数元，则
证明：
设$a$在域E，F上的极小多项式分别为$f(x),g(x)$，由命题2知$f(x)|g(x)$，因此
推论
设$F\subseteq E\subseteq K$ 是三个域，$a_1,a_2\cdots,a_n\in K$，则
证明：
对n用归纳法
$n=1$时，由命题3知结论成立
假设$n-1$时结论成立，往证$n$时成立
结合归纳假设及命题3有
可见n时结论成立，归纳法完成
命题4
设E/F是有限扩张，$a$是F上的代数元，则$[E(a):F(a)]\le [E:F]$
证明：
根据命题3
两端约去$[E(a):E]$，有
定理3
设F是域，$a_1,a_2,\cdots,a_n$都是F上的代数元，则
证明：
对n用归纳法
$n=1$时，显然成立
假设$n-1$时结论成立，往证$n$时成立，由命题4以及归纳假设得
可见n时结论成立，归纳法完成
例
求扩张次数$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]$
解：
显然，$\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{5}$的极小多项式分别为$x^3-2,x^4-5$（可由Eistenstein判别法知它们既约），从而
而由等式
知$3|[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]且4|[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]$，进而$12|[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]$，故$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]\ge 12$
另一方面，由定理3知
综上可知，$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]=12$
命题5
设E是F的扩域，$a,b\in E$，它们都是F上的代数元，且它们的极小多项式次数分别是m和n，且$(m,n)=1$，则$[F(a,b):F]=mn$
证明：
一方面
可见，$m|[F(a,b):F],n|[F(a,b):F]$，进而根据$(m,n)=1$知 $mn|[F(a,b):F]$ 因此$[F(a,b):F]\ge mn$
另一方面，由定理3知$[F(a,b):F]\le mn$
因此，$[F(a,b):F]=mn$
PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/11/01/field1/