有理数域和实数域上的自同构

抽象代数

环论

有理数域和实数域上的自同构

命题一

有理数域上的自同构只有恒等自同构一个

证明：

设$f$是有理数域$\mathbb{Q}$上的自同构，则

$$f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)^2\Longrightarrow f(1)=0或1$$

但是由于$f$是单射知$1\notin Kerf$即$f(1)\neq 0$，从而必有$f(1)=1$

则对于任意的整数$n\in \mathbb{Z}$，有

$$f(n)=f(1+1+\cdots+ 1)=nf(1)=n$$

对任意$x\in\mathbb{Q}$，存在$m,n\in\mathbb{Z}$使得$x=\dfrac{m}{n}$，有

$$m=f(m)=f(n\cdot \dfrac{m}{n})=nf(\dfrac{m}{n})\Longrightarrow f(\dfrac{m}{n})=\dfrac{m}{n}$$

即$f(x)=x$，从而$f$是恒等自同构

命题二

实数域上的自同构只有恒等自同构一个

证明：

设设$f$是实数域$\mathbb{R}$上的自同构，则

由命题一知，$f$限制在有理数域上是恒等自同构

对任意的$x,y\in R$，且$x\ge y$有

$$f(x)-f(y)=f(x-y)=f(\sqrt{x-y})^2\ge 0$$

可见$f$单调递增，因此，对任意$r\in\mathbb{R}$，存在两个有理数列$\{a_n\},\{b_n\}$，满足$a_n\le r\le b_n$对任意的$n\in\mathbb{N}^*$且

$$\lim_{n\to\infty}a_n=r=\lim_{n\to\infty}b_n$$

则进一步有

$$a_n=f(a_n)\le f(r)\le f(b_n)=b_n$$

令$n\to \infty$有$f(r)=r$，因此$f$是恒等自同构

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/10/06/ring6/