中国剩余定理

抽象代数

环论

中国剩余定理

定义

设R是有1的交换环，如果$ I,J $是R的两个理想，且$ I+J=R $，则称$ I $与$ J $互素

命题

若$ I,J,K $都是R的理想，则
(1)若$ IJ\subseteq K $，$ J $与$ K $互素，则$ I\subseteq K $
(2)若理想$ I $与$ J,K $都互素，则$ I $与$ JK $互素
(3)若$ I $与$ J $互素，则对任意的自然数n有$ I^n $与$ J^n$互素
(4)若$ I $与$ J $互素，则$ IJ=I\cap J $

证明：

（1）由于$ J $与$ K $互素，即$ J+K=R $，因此

$$IJ+IK=I(J+K)=IR=I$$

其中$ IR=I $是因为$ R $中有单位元，所以$ I\subseteq IR $，而本身$ IR\subseteq I $，故$ IR=I $
又由于

$$IJ\subseteq K,IK\subseteq K$$

根据$ K $作为理想对加法封闭有

$$I=IJ+IK\subseteq K$$

（2）由于$ I $与$ J,K $都互素，故

$$I+J=R\\ I+K=R$$

从而

$$(I+J)(I+K)=RR=R$$

而

$$\begin{align*} (I+J)(I+K)&=II+JI+IK+JK=II+IJ+IK+JK =II+I(J+K)+JK\\&=II+IR+JK=II+I+JK=I+JK \end{align*}$$

其中第二个等号$ IJ=JI $是由于$ R $是交换环，最后一个等号是由于$ II\subseteq I $
故有

$$I+JK=R$$

由此即得$ I $与$ JK $互素

(3)在（2）中，取$ K=J $得，$ I $与$ J^2 $互素，进一步，$ I $与$ J^3 $互素$ \cdots $，$ I $与$ J^n $互素
同理，可得$ I^2 $与$ J^n $互素，$ \cdots $，$ I^n $与$ J^n $互素
(4)由于$ IJ\subseteq I\cap J $，而对任意的$ x\in I\cap J $，由于$ I+J=R $，故有$ a\in I,b\in J $，使得$ a+b=1 $，
因此$ x=x(a+b)=xa+xb=ax+xb\in IJ $，可见$ I\cap J\subseteq IJ $
综上，$ IJ=I\cap J $

定理：中国剩余定理

设R是有1的交换环，$ I_i~(1\le i\le n) $是环R的理想，且两两互素，则对任意给定的$ x_i\in R~(1\le i\le n) $，存在$ x\in R $，使得

$$\begin{cases} x\equiv x_1~(mod I_1)\\ x\equiv x_2~(mod I_2)\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\ x\equiv x_n~(mod I_n)\\ \end{cases}$$

其中记号$x\equiv y~(mod I) $表示$ x-y\in I $

证明：

由于$ I_1 $与$ I_2,\cdots,I_n $均互素，结合上题结果知，$ I_1 $与$ I_2I_3\cdots I_n $互素，即

$$I_1+I_2I_3\cdots I_n=R$$

因此，存在$ y_1\in I_2I_3\cdots I_n\subseteq I_i~(i\neq 1) ,y_1’\in I_1$ ，使得$ y_1+y_1’=1 $，即$ y_1-1=-y_1’\in I_1,y_1-0=y_1\in I_i~(i\neq 1) $，从而

$$\begin{cases} y_1\equiv 1~(mod I_1)\\ y_1\equiv 0~(mod I_i),i\neq 1\\ \end{cases}$$

同理，存在$ y_j\in R~(j=2,3,\cdots,n) $，使得

$$\begin{cases} y_j\equiv 1~(mod I_j)\\ y_j\equiv 0~(mod I_i),i\neq j\\ \end{cases}$$

至此，令

$$x=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$$

即为所求

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/10/05/ring5/