抽象代数

环论

理想的运算

命题1

设$ I,J $是环R的理想，则
(1)$ IJ\subseteq I,IJ\subseteq J $
(2)$ IJ\subseteq I\cap J\subseteq I+J $

证明：

$IJ=\{\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i|\text{对任意的}x_i\in I,y_i\in J,n\in \mathbb{Z}\}$

因此，对于$ IJ $中任意有限和 $\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i$ 由于$ J $是R的理想，故由理想的”吸收性”得 $\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i\in J$
即$ IJ\subseteq J $,同理，$ IJ\subseteq I $
(2)由(1)立得$ IJ\subseteq I\cap J $
由于$ \forall x\in I\cap J,x=x+0\in I+J $，故$ I\cap J\subseteq I+J $
综上，$ IJ\subseteq I\cap J\subseteq I+J $

命题2

设$ I,J,K $都是环R的理想，则：
(1)加法交换律：$ I+J=J+I $
(2)加法结合律：$ I+(J+K)=(I+J)+K $
(3)乘法结合律：$ (IJ)K=I(JK) $
(4)左分配律：$ I(J+K)=IJ+IK $
(5)右分配律：$ (J+K)I=JI+KI $

证明：

(1)(2)显然
(3) 由于

$IJ=\{\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i|\text{对任意的}x_i\in I,y_i\in J,n\in \mathbb{Z}\}$

故$ (IJ)K $中每个有限和均形如

$\sum\limits_{j=1}^m(\sum\limits_{i=1}^n x_{ij}y_{ij})z_j=\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{i=1}^n x_{ij}y_{ij}z_j$

其中$ x_{ij}\in I,y_{ij}\in J,z_j\in K $
而每一项$ x_{ij}y_{ij}z_j=x_{ij}(y_{ij}z_j)\in I(JK) $，根据理想对加法的封闭性知

$\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{i=1}^n x_{ij}y_{ij}z_j\in I(JK)$

因此，$ (IJ)K\subseteq I(JK) $，同理$ I(JK)\subseteq (IJ)K$，
故，$ (IJ)K=I(JK) $

(4)一方面，由于$ J\subseteq J+K $，因此$ IJ\subseteq I(J+K) $，同理，$ IK\subseteq I(J+K) $，再根据作为理想$ I(J+K) $关于加法封闭知，$ IJ+IK\subseteq I(J+K) $
另一方面，$ I(J+K) $中任意元素均为有限和

$\sum x_t(y_t+z_t)$

其中$ x_t\in I,y_t\in J,z_t\in K $，这里每一项

$x_t(y_t+z_t)=x_ty_t+x_tz_t\in IJ+IK$

而$ IJ+IK $同样对加法封闭，所以

$\sum x_t(y_t+z_t)\in IJ+IK$

从而，$ I(J+K)\subseteq IJ+IK $
综上，$ I(J+K)= IJ+IK $
(5)同(4)理可证

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/10/04/ring4/