抽象代数
环论
没有非平凡单边理想的环
首先，复习一下生成理想
设R是环，$a\in R$
（1）R是环，则$a$的生成理想$(a)=\{ma+xa+ay+\sum\limits_{i=1}^n x_i a y_i|m\in\mathbb{Z},x,y,x_i,y_i\in R,n\in \mathbb{N}^*\}$
$a$生成的左理想为$\{xa+na|x\in R,n\in\mathbb{Z}\}$
（2）R是有1环，则$a$的生成理想$(a)=\{\sum\limits_{i=1}^n x_i a y_i|x_i,y_i\in R,n\in \mathbb{N}^*\}$
$a$生成的左理想为$\{xa|x\in R\}=Ra$
（3）R是交换环，则$a$的生成理想$(a)=\{ma+xa|m\in\mathbb{Z},x,y\in R\}$
（4）R是有1交换环，则$a$的生成理想$(a)=\{xa|x\in R\}=aR$
定理
一个环R没有非平凡左理想当且仅当R是一个素数阶零环，或者R是一个除环
证明：
必要性：
环R没有非平凡左理想，设$a\in R$，且$a\neq 0$，则容易验证
是R的一个左理想，有两种情形：
（1）情形一：存在$a\in R-\{0\}$使得$Ra=\{0\}$
（2）情形二：对任意$a\in R-\{0\}$均有$Ra=R$
先考虑情形一：设$a\in R-\{0\}$使得$Ra=\{0\}$，则考虑由$a$生成的左理想
由于$a\in I$，因此$I\neq \{0\}$，由条件知必有$I=R$，此外由于$Ra=\{0\}$知$xa=0,\forall x\in R$，因此$I=\{na|n\in\mathbb{N}\}$.故$\forall x,y\in R$，存在$m,n\in \mathbb{N}$使得$x=ma,y=na$，因此
可见，R是零环，进一步地，R作为加法群没有非平凡子群，故必为素数阶零环
再考虑情形二：对任意$a\in R-\{0\}$均有$Ra=R$
首先证明：R无零因子
对于任意$a,b\in R,a,b\neq 0$，有$Rab=(Ra)b=Rb=R$，因此$ab\neq 0$，可见无零因子
其次证明：R中有单位元
由于$Ra=R$知存在元素$e\in R-\{0\}$使得$ea=a$，则$(ae-a)a=a^2-a^2=0$，根据R无零因子及$a\neq 0$知$ae=a$. 对任意$b\in R$，$a(eb-b)=ab-ab=0$，根据R无零因子及$a\neq 0$知$eb=b$，进一步有$(be-b)b=b^2-b^2=0$知必有$be=b$（若$b=0$则显然成立），由此即知$e$是R的单位元
最后证明：R中任意非零元可逆
对任意$a\neq 0$，由于$Ra=R$知存在元素$b$使得$ba=e$，进一步地，$(ab-e)a=a-a=0$知$ab=e$从而$b$是$a$在R中的逆元
因此R是除环
充分性：显然成立
推论1
一个有1环R没有非平凡单边理想当且仅当R是除环
证明：
由于$1\cdot 1=1\neq 0$故R不可能为零环，由上定理知结论成立
推论2
一个有1交换环是域当且仅当它没有平凡理想
证明：
由推论1立得
PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/10/03/ring3/