有1环中1-ab的逆元问题

抽象代数

环论

有1环中1-ab的逆元问题

定理

设R是一个有一环，$a,b\in R$，则$1-ab可逆 \iff 1-ba可逆$

想法来源

若$x^n-0$，则$1-x^n=1$，进而$(1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1})=1$，即

$1-x$的逆元为$(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1})$，因此可以形式上的将$1-ab$的逆元想象为$c=1+ab+(ab)^2+\cdots$，而将$1-ba$的逆元想象为$1+(ba)+(ba)^2+\cdots = 1+bca$，然后加以验证

证明：

设$ (1-ab)^{-1}=c $，则$ (1-ab)c=c(1-ab)=1 $
注意到：$ (1-ba)bca=bca-babca=b(1-ab)ca=b1a=ba $
故，$ (1-ba)(1+bca)=1-ba+(1-ba)bca=1-ba+ba=1 $

同理可证$ (1+bca)(1-ba)=1 $

故$ 1-ba $可逆，且$ (1-ba)^{-1}=1+b(1-ab)^{-1}a $

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/10/02/ring2/