抽象代数
环论
环中元素不止含有一个单边逆元的有关问题
命题
设R是一个有一环，$a\in R$，且$a$在R中存在左逆元，则下列等价
（1）$a$有多于一个左逆元
（2）$a$不是单位
（3）$a$是某个元素的右零因子
证明：
（1）$\Longrightarrow$（2）显然成立
（2）$\Longrightarrow$（3）设$b$是$a$的左逆元，根据$a$不是单位知必有$ba=1但ab\neq 1$，从而$(ab-1)a=aba-a=a-a=0$，根据$ab-1\neq 0,a\neq 0$知$a$是$ab-1$的右零因子
（3）$\Longrightarrow$（1）设$u\neq 0且 ua=0$，$b$是$a$的左逆元，那么$(b+u)a=ba+ua=1$可见$b+u\neq b$也是$a$的左逆元
Kaplansky 定理
设R是一个有一环，$a\in R$且$a$在R中有多于一个左逆元，则$a$必有无穷多个左逆元
证明：
设X是$a$的所有左逆元组成的集合，因为$a$在R中有多于一个左逆元，所以X中任何元素都不是$a$的右逆元
设$a_0\in X$，则有$a_0a=1$，且对任意的$x\in X$有
于是可以定义映射$f:X\longrightarrow X$ ，满足$f(x)=ax-1+a_0$
首先证明：$f$是单射
假设$f(x)=f(y)$，则$ax-1+a_0=ay-1+a_0$，进一步地$ax=ay$，两边同时左乘$a_0$可得$x=y$，可见$f$是单射
其次证明：$f$不是满射，下面证明：$f(x)\neq a_0$对任意$x\in X$
反证，假设存在$x\in X$使得$f(x)=a_0$，则$ax-1+a_0=a_0$，进一步有$ax=1$，即$x$也是右逆元，矛盾，因此$f$不是满射
最后，根据有限集合上的变换如果是单射则必定是满射知X必为无限集合，结论成立
推论1
设设R是一个有一环且有限，则R中任意元素如果有左逆元，左逆必定唯一
证明：
反证，假设$a\in R$且$a$在R中有多于一个左逆元，则由Kaplansky定理知$a$必有无穷多个左逆元，从而R必为无限环，与条件矛盾
推论2
设R是一个有一环，$a,b\in R$且$ba=1但 ab\neq 1$，则$a$有无穷多个左逆元
证明：
由条件知$a$不是单位，由前命题知，$a$有多于一个左逆元，根据Kaplansky定理知$a$有无穷多个左逆元
PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/10/01/ring1/