直积群中元素阶的问题

抽象代数

群论

直积群中元素阶的问题

基本原理

设$a$是群G中阶为$m$的元素，$b$是群G中阶为$n$的元素，则元素$(a,b)$是群G中阶为$[m,n]$的元素

证明：

设$(a,b)$的阶为q，一方面

$$(a,b)^{[m,n]}=(a^{[m,n]},b^{[m,n]})=(e,e)$$

可见$q|[m,n]$

根据

$$(a^q,b^q)=(a,b)^q=(e,e)$$

知

$$m|q,n|q \Longrightarrow [m,n]|q$$

综上，$q=[m,n]$

题目一

判断$\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_7$是否为循环群

解

$\overline{1}\in \mathbb{Z}_5,\overline{1}\in \mathbb{Z}_7，(\overline{1},\overline{1})$的阶为$[5,7]=35$，所以$\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_7$是循环群

题目二

试说明$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3$与群$\mathbb{Z}_6$同构

证明：

$\mathbb{Z}_2，\mathbb{Z}_3$分别为2,3阶循环群且$(2,3)=1$可知$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3$中存在6阶元，是6阶循环群，$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3\cong \mathbb{Z}_6$

题目三

试说明$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$与群$\mathbb{Z}_4$不同构

证明：

$\mathbb{Z}_2$中元素的阶为1或2，所以$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$中元素的阶为1或2，即没有4阶元，不是循环群，而$\mathbb{Z}_4$是循环群，故不同构

题目四

试说明$\mathbb{Z}_8\times \mathbb{Z}_2$与群$\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_4$不同构

证明：

$\mathbb{Z}_8$中元素的阶为1,2,4,8，$\mathbb{Z}_2$中元素的阶为1,2，从而$\mathbb{Z}_8\times \mathbb{Z}_2$中元素的最高阶为8，而$\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_4$中元素的阶为1,2,4无8阶元，故不同构

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/09/12/group13/