Sylow 定理的一些简单应用

抽象代数

群论

Sylow 定理的一些简单应用

题目一

证明：阶为$20449=11^2\cdot 13^2$的群G必为Abel 群

证明：

首先，G的$11-Sylow$子群个数为$\{1,13,169\}$中模11同余1的数，因此只能是1，即G的$11-Sylow$子群只有一个，故必为正规子群，记为A，且$|A|=11^2$，同理可知，G的$13-Sylow$子群也只有一个，故必为正规子群，记为B，且$|B|=13^2$ 根据$p^2$阶群（p为素数）必为交换群知，A，B都是交换群

其次，注意到$(|A|,|B|)=1$，因此$A\cap B=\{e\}$，从而

$$|AB|=\dfrac{|A||B|}{|A\cap B|}=11^2\cdot 13^2=|G|$$

而必有$AB\subseteq G$知$AB=G$

最后，根据A,B都是G的正规子群且$A\cap B=\{e\}$知$AB=BA$，再结合A，B都是交换群知G也是交换群

题目二

证明：56阶群G必不是单群

证明：

由于$56=2^3\cdot 7$，可知G的$7-Sylow$子群个数为$\{1,2,4,8\}$中模7同余1者，故只能为1或8，下分两种情况讨论

情形一：G的$7-Sylow$子群有1个，则其必为正规子群，从而G不是单群

情形二：G的$7-Sylow$子群有8个，而每个G的$7-Sylow$子群中除了单位元外都是7阶元，即G得7阶元有$8\times(7-1)=48$个，又56-48=8且G必有一个阶为8的$2-Sylow$子群，因此剩下的8个元素构成G的唯一的$2-Sylow$子群，因此G有一个正规的$2-Sylow$子群,不是单群

综上所述，G不是单群

题目三

证明：108阶群不是单群

证明：

由于$108=2^2\cdot 3^3$可知G的$3-Sylow$子群个数为$\{1,2,4\}$中模3同余1者，故只能为1或4，下分两种情况讨论

情形一：G的$3-Sylow$子群有1个，则其必为正规子群，从而G不是单群

情形二：G的$3-Sylow$子群有4个，设A，B是G的两个不同的$3-Sylow$子群，根据

$$|AB|=\dfrac{|A\|B|}{|A\cap B|}=\dfrac{27\times 27}{|A\cap B|}\le |G|=108 \Longrightarrow |A\cap B|\ge \dfrac{27}{4}$$

根据$A\cap B$是A的子群，以及Lagrange 定理知必有$|A\cap B|=9$，$|AB|=81$，下面证明：$A\cap B$是G的正规子群，只需证明：$N(A\cap B)=G$

由上篇文章知$p^{n-1}$阶群一定是$p^n$阶群的正规子群，从而$A\cap B\lhd A$且$A\cap B\lhd B$，可见

$$A\subseteq N(A\cap B)且B\subseteq N(A\cap B)$$

根据子群对运算的封闭性知$AB\subseteq N(A\cap B)$，从而$N(A\cap B)\ge 81$，根据$N(A\cap B)$是G的子群以及Lagrange 定理知必有$|N(A\cap B)|=108=|G|$，从而$N(A\cap B)=G$，因此$A\cap B$是G的正规子群，G不是单群

题目四

证明：63阶群不是单群

证明：

由于$63=7\cdot 3^2$，可知其$7-Sylow$子群个数为$\{1,3,9\}$中模7同余1者，故只能为1，从而其$7-Sylow$子群是正规子群，不是单群

题目五

证明：148阶群不是单群

证明：

$148=37\cdot 2^2$，可知其$37-Sylow$子群个数为$\{1,2,4\}$中模37同余1者，故只能为1，从而其$37-Sylow$子群是正规子群，不是单群

题目六

证明：200阶群不是单群

证明：

$200=5^2\cdot 2^3$，可知其$5-Sylow$子群个数为$\{1,2,4,8\}$中模5同余1者，故只能为1，从而其$5-Sylow$子群是正规子群，不是单群

题目7

证明：231阶群G的$11-Sylow$子群含于G的中心

注意到$231=11\times 7\times 3$，可知其$11-Sylow$子群个数为$\{1,3,7,21\}$中模11同余1者，故只能为1，从而其$11-Sylow$子群是正规子群设为A，同理其$7-Sylow$子群B，其$3-Sylow$子群C都是正规子群

下面证明：G=ABC

由于$(11,7)=1$因此$A\cap B=\{e\}$，进而$|AB|=\dfrac{|A||B|}{|A\cap B|}=77$

进一步地$(77,3)=1$，因此$AB\cap C=\{e\}$，进而$|ABC|=\dfrac{|AB||C|}{|AB\cap C|}=231=|G|$

因此必有G=ABC

再根据$A\cap B=\{e\}$知$\forall x\in A,y\in B$有$xy=yx$，同理$\forall x\in A,z\in C$有$xz=zx$，以及A是循环群知A中元素与G中任意元素可换，A含于G的中心

题目八

证明：36阶群不是单群

由于$36=2^2\times 3^2$，可见$3-Sylow$子群个数为$\{1,2,4\}$中模3同余1者，故只能为1或4

下分两种情况讨论

情形一：G的$3-Sylow$子群有1个，则其必为正规子群，从而G不是单群

情形二：G的$3-Sylow$子群有4个，设A，B是G的两个不同的$3-Sylow$子群，根据

$$|AB|=\dfrac{|A\|B|}{|A\cap B|}=\dfrac{9\times 9}{|A\cap B|}\le |G|=36 \Longrightarrow |A\cap B|\ge \dfrac{9}{4}$$

根据$A\cap B$是A的子群，以及Lagrange 定理知必有$|A\cap B|=3$，$|AB|=27$，下面证明：$A\cap B$是G的正规子群，只需证明：$N(A\cap B)=G$

由上篇文章知$p^{n-1}$阶群一定是$p^n$阶群的正规子群，从而$A\cap B\lhd A$且$A\cap B\lhd B$，可见

$$A\subseteq N(A\cap B)且B\subseteq N(A\cap B)$$

根据子群对运算的封闭性知$AB\subseteq N(A\cap B)$，从而$N(A\cap B)\ge 27$，根据$N(A\cap B)$是G的子群以及Lagrange 定理知必有$|N(A\cap B)|=36=|G|$，从而$N(A\cap B)=G$，因此$A\cap B$是G的正规子群，G不是单群

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https://tuowang2002.github.io/2021/09/11/group12/