抽象代数
群论
群同态基本定理，对应定理等的一些应用举例
题目一：
设N是群G的正规子群，证明：N是G的极大正规子群的充要条件是$ G/N $是单群
证明：
考虑自然同态
$ Ker\pi=\{g\in G|gN=N\}=N $
根据对应定理有：
N是G的极大正规子群$ \Longleftrightarrow $G的包含N的正规子群只有N和G $ \Longleftrightarrow G/N $的正规子群只有$ N $和$ G/N \Longleftrightarrow G/N $是单群
题目二：
设N和H是群G的两个不同的极大正规子群，证明：$ H\cap N $是H的极大正规子群
证明：
由上题结果知，只需证$ H/H\cap N $是单群
根据第二同构定理，有
断言：$ HN\neq N $ (否则$ \forall h\in H,hN\subseteq HN=N $，而$ N\subseteq hN $，故$ hN=N,h\in N $，所以$ H\subseteq N $，由条件知$ H\neq N $，但H是G的极大正规子群，知$ N=G $，G中真包含N的正规子群为空集，这与N是G的极大正规子群矛盾)
而由H和N都是G的正规子群知$HN$是G的正规子群，且$ N\subsetneqq HN $，故由N是G的极大正规子群知$ HN=G $，因此(1)式表明：
结合N是G的极大正规子群及上题结果知$ G/N $是单群，故$ H/H\cap N $是单群，由上题结果知$ H\cap N $是H的极大正规子群
题目三：
设G，H是两个循环群，且$ |G|=m,|H|=n $，证明G到H之间存在满同态的充要条件是$ n|m $
证明：
必要性：设$ \varphi $是G到H的满同态，则由群同态基本定理知
因此$ |H|=|G/Ker\varphi|=\dfrac{|G|}{|Ker\varphi|} $，即n是m的因子，$ n|m $
充分性：由于G是m阶循环群，H是n阶循环群，因此由同构$ \sigma: G\longrightarrow \mathbb{Z}_m,~\tau:\mathbb{Z}_n\longrightarrow H $
现作
下面验证$ \varphi $是同态映射
首先$ \varphi $是良定义的：若有$ \bar a=\bar b $，则$ m|b-a $，而$ n|m $，故$ n|b-a $，因此$ \tilde a=\tilde b $，即$ \varphi(a)=\varphi(b) $，可见$ \varphi $良定义
其次，$ \varphi $是同态：$ \forall \bar a,\bar b\in \mathbb{Z}_m ,\varphi(\bar a\bar b)=\varphi(\overline{ab})=\widetilde {ab}=\tilde a\tilde b=\varphi(a)\varphi(b)$，可见$ \varphi $是同态
综上，取$ f=\sigma\varphi\tau:G\longrightarrow H $为所求
题目四：
求证：任何有限循环群到无限循环群的同态只能是平凡同态，即将所有元映为幺元的同态
证明：
设H是有限循环群，G是无限循环群，$ \varphi $是H到G的同态，考虑$ Im\varphi $
由于$ Im\varphi $是G的子群，又G是无限循环群，故若$ Im\varphi \neq \{e\}$，则$ Im\varphi $是无限阶循环群，根据群同态基本定理:
因此$ H/Ker\varphi $是无限阶循环群，但H是有限循环群，因此$ |H/Ker\varphi|=\dfrac{|H|}{|Ker\varphi|} $有限，矛盾
因此，必有$ Im\varphi=\{e\} $，即$ \varphi $是平凡同态
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