抽象代数
群论
有限Abel群是循环群的一些充要条件
引理：
设$a$是有限Able群G中阶最大的元素，即
则对任意的$g\in G$，有$o(g)|o(a)$，其中$o(a)$表示$a$的阶（周期）
由此可知$o(a)$是G中所有元素的阶的最小公倍数
证明：
若不然，$o(g)\nmid o(a)$，则必有$[o(g),o(a)]>o(a)$，根据G是有限Abel群知，G中必有一个元素的阶数是$[o(g),o(a)]$，这与$a$的定义矛盾
充要条件一：
有限Abel群G是循环群当且仅当$|G|=max\{o(g)|g\in G\}$
证明：
必要性：G是循环群，设G是由$a\in G$生成的循环群，则$|G|=o(a)=max\{o(g)|g\in G\}$显然成立
充分性：设$o(a)=max\{o(g)|g\in G\}$，则记$a$生成的循环群为$(a)$，则一方面$(a)\subseteq G$，另一方面，由于$|G|=|(a)|=o(a)$可知$G=o(a)$，即G是循环群
充要条件二：
有限Abel群G是循环群当且仅当$|G|$是G中所有元素的阶的最小公倍数
证明：
由引理以及充要条件一立得
充要条件三：
有限Abel群G是循环群当且仅当$|G|$是使$x^n=e$对一切$x\in G$ 成立的正整数n最小者
证明：
必要性显然
充分性：反证，假设G不是循环群，设$a$是有限Able群G中阶最大的元素，根据充要条件一知$o(a)=m<|G|$，根据引理知$m$是使$x^n=e$对一切$x\in G$ 成立的正整数n最小者，矛盾
充要条件四：
有限Abel群G是循环群当且仅当对任意的正整数$k$，有方程$x^k=e$在G中的解不超过$k$个
证明：
必要性：对任意的正整数$k$，设方程$x^k=e$在G中的解集为H，则容易验证H是G的子群，根据G是循环群知H也是循环群，从而根据充要条件一以及H的定义、知$|H|=max\{o(h)|h\in H\} \le k$，即方程$x^k=e$在G中的解不超过$k$个
充分性：设$a$是有限Able群G中阶最大的元素,设$o(a)=n$，一方面，根据引理知$\forall g\in G$，$g$是方程$x^n=e$在G中的解，故根据条件知$|G| \le n$。另一方面，根据$o(a)=n$知$e,a,a^2,\cdots,a^{n-1}$互不相同且$\{e,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}\subseteq G$，因此$|G| \ge n$。可见$|G|=n$，根据充要条件一知G是循环群
PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/09/07/group7/