抽象代数

群论

与商群有关的一类问题

问题一：

设G是群，H是G的正规子群，若H在G中的指数$ [G:H]=n $有限，则$\forall x\in G\text{有} x^n\in H $

证明：

考虑商群$G/H$，由于$ |G/H|=[G:H]=n $，而$ xH\in G/H $，故$ x^nH=(xH)^n=H $

故$ x^n\in H $

问题二：

设G是有限群，H是G的正规子群，且$ [G:H] $与$ |H| $互素，证明：对任意适合$ x^{|H|}=e $的元素$x$，必有$ x\in H $

证明：

考虑$ xH $，一方面$ xH\in G/H $,因此$ xH $的阶$ o(xH)~|~|G/H|=[G:H] $
另一方面，$ (xH)^{|H|}=(x^{|H|})H=eH=H $，因此$ xH $的阶$ o(xH)~|~|H|$
由于 $ [G:H] $与$ |H| $互素，因此$ o(xH)=1 $，即$ xH=H $，因此$ x\in H $

问题三：

设G是非零复数乘法群，求证：G没有指数有限的真子群

证明：

设K是G的子群且指数有限，设$ [G:H]=n $，则由问题一结果知$ \forall c\in G,c=(c^{\frac{1}{k}})^k\in K $，因此$ G\subseteq K $，而K是G的子群，因此$ K=G $，即G没有指数有限的真子群

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/09/05/group5/