抽象代数
群论
正规子群的一些判定方法
方法一：
设H是群G的子群，则$ H\lhd G \Leftrightarrow \forall g\in G $ ，有$ gH=Hg~(\text{或}gHg^{-1}=H) $
方法二：
设H是群G的子群，，则$ H\lhd G \Leftrightarrow \forall g\in G,h\in H $ ，有$ ghg^{-1}\in H $
方法三：
设H是群G的子群，若$ [G:H]=2 $，则$ H\lhd G $
证明：
$ \forall g\in G $，若$ g\in H $，则$ gH=H=Hg $，若$ g\notin H $,则$ G=H\cup gH=H\cup Hg $，故必有$ gH=Hg $综上，$ \forall g\in G,gH=Hg $，所以$ H\lhd G $
方法四：
设H是有限群G的子群,且$ |H|=m $，又在G中阶为m的子群只有一个，则$ H\lhd G $
证明：
由于$ \forall g\in G,|gHg^{-1}|=|H|=m $,由于G的阶为m的子群只有一个，故必有$ gHg^{-1}=H $，所以$ gH=Hg $，因此$ H\lhd G $
方法五：
设H是群G的子群，记$ N(H)=\{g\in G|gH=Hg\} $称为H在G中的正规化子，则$ H\lhd G\Leftrightarrow N(H)=G $
方法六：
设H是有限群G的子群，且$ [G:H] $是素数，若G中有不属于H的元素g，使得$ gH=Hg $，则$ H\lhd G $
证明：
设$ |G|=n,|H|=m,[G:H]=p $，考虑$ N(H) $是H在G中的正规化子，易证$ H\lhd N(H)\le G $，设$ |N(H)|=t $，则由Lagrange定理得：
故有$ s,k\in \mathbb{Z} $，使得：
结合(1)(2)(3)有
即
又由条件知H是N(H)的真子群，即$ s>1$且 $n<t$结合p是素数知，必有$ s=p,k=1 $
因此$ t=np=m $，故$ N(H)=G $，因此$ H\lhd G $
方法七：
设G是群,如果H是从G出发的某个同态映射的核，则$ H\lhd G $
方法八：
设H是群G的子群，如果$H=Core_G(H)$，则$H\lhd G$
PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/09/04/group4/