陪集分解与Lagrange定理

抽象代数

群论

陪集分解与Lagrange定理

定义：陪集分解

设H是群G的子群，设H在G中的指数为r,即$[G:H]=r$，则称

$$G=a_0 H\cup a_1 H\cup \cdots\cup a_{r-1} H$$

其中$a_0=e$，$a_i H\cap a_j H=\varnothing $，为群G关于其子群H的陪集分解

陪集分解与Lagrange定理的有关应用举例

题目一

设H,K是群G的子群，且K是H的子群，若$ [G:H] $和$ [H:K] $都有限，求证：$ [G:K] $也有限，且

$$[G:K]=[G:H][H:K]$$

证明：

由Lagrange定理

$$|G|=|H|[G:H]\tag{1}$$ $$|H|=|K|[H:K]\tag{2}$$ $$|G|=|K|[G:K]\tag{3}$$

结合(1)(2)得

$$|G|=|K|[G:H][H:K]\tag{4}$$

由(3)(4)知

$$[G:K]=[G:H][H:K]$$

可见$ [G:K] $也有限

题目二

设H,K是群G的两个有限子群，证明：

$$|HK|=\dfrac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}$$

证明：

记$ M=H\cap K $ ，由于M是G的子群，故也是H的子群,设$ [H:M]=r $

设H有陪集分解如下：

$$H=\bigcup_{i=0}^{r-1} h_i M$$

其中$ h_0=e $,于是

$$HK=(\bigcup_{i=0}^r h_i M)K=\bigcup_{i=0}^{r-1} h_i MK$$

注意到M是K的子群，故$ MK=K $,因此

$$HK=\bigcup_{i=0}^{r-1} h_i K$$

下证：$ \forall i,j\in \{0,1,\dots,r-1\} ,$只要$ i\neq j $,就有$ h_iK\cap h_jK =\varnothing$
$ \forall x\in h_iK\cap h_jK ,\exists k_1,k_2\in K ,x=h_ik_1=h_jk_2$
于是$ h_j^{-1}h_i=k_2k_1^{-1}\in M $,因此$ h_iM=h_jM $与$ i\neq j $矛盾

所以只要$ i\neq j $,就有$ h_iK\cap h_jK =\varnothing$
此外，根据K是G的子群知$\forall h\in G$，有$|hK|=|K|$

因此

$$|HK|=\sum\limits_{i=0}^{r-1}|h_iK|=\sum\limits_{i=0}^{r-1}|K|=r|K|=[H:M]|K|=\dfrac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}$$

题目三

设H，K是G的子群，且$ [G:H],[G:K] $都有限，求证：$ [G:H\cap K] $也有限

证明：

注意到$ \forall g\in G,g(H\cap K)=(gH)\cap(gK) $,由于不同的左陪集$gH$和$gK$都是有限个，因此左陪集$ g(H\cap K) $也是有限个，即$ [G:H\cap K] $也有限

题目四

设G是一个群，H，K是其子群，且H在G中的指数有限，求证：$ K\cap H $在K中的指数也有限

证明：

注意到对于$ \forall g\in K $

$$g(H\cap K)=gH\cap gK=gH\cap K$$

设$ [G:H]=r $,设G有陪集分解

$$G=\bigcup_{i=0}^{r-1} g_iH$$

其中$ g_0=e $，因此

$$K=G\cap K=(\bigcup_{i=0}^{r-1} g_iH)\cap K=\bigcup_{i=0}^{r-1}g_i(H\cap K)$$

去掉部分重复元素，即为K的陪集分解，结论自然成立

题目五

设H，K是G的有限子群，且$H,K$的阶互素，求证：$H\cap K=\{ e\}$

证明：

设$ |H|=m,|K|=n,|H\cap K|=t $
由Lagrange定理$ t|m,t|n $，又由已知$ (m,n)=1 $ ,因此必有$ t=1 $

又$ e\in H\cap K $,因此$ H\cap K=\{e\} $

题目六

设G是一个群，H是其子群且H在G中的指数n有限,证明：若$ a\in G $,则存在某个$ 0\le k\le n $,使$ a^k\in H $

证明：

考虑陪集$ H,aH,a^2H,\dots,a^nH $
由于$ [G:H]=n $有限，知至少有两个陪集相同，设$ a^i H=a^jH $,不妨设$ i\ge j $,则$ a^{i-j}\in H $

取$ k=i-j $ 即可

PermaLink:
https://tuowang2002.github.io/2021/09/03/group3/