抽象代数
群论
有关元素的阶(周期)的问题
题目1
设$G$为群，$ a\in G $，a的阶为m,证明：
(1)$ a^n=e $当且仅当$ m|n $
(2)$ a^k=a^h $当且仅当$ k\equiv h(mod m) $
证明：
(1)充分性：
设$ n=qm $，则$ a^n=a^{qm}=(a^m)^q=e^q=e $
必要性：
由带余除法，设$ n=mq+r,0\le r<m $,若$ r\neq 0 $，则$ a^r=a^{n-mq}=a^n(a^m)^{-q}=e $,而$ r<m $，这与m是a的阶矛盾，因此$ r=0, m|n$
(2)$ a^k=a^h\Leftrightarrow a^{k-h}=e\Leftrightarrow m|k-h\Leftrightarrow k\equiv h(mod m) $
题目2
对$G$中任意元素a,b，记$o(a)$表示a在G中的阶数，证明：
(1)$o(a)=o(a^{-1}) $
(2)$ o(a)=o(bab^{-1}) $
(3)$ o(ab)=o(ba) $
证明：
(1)设a的阶为m，$ a^{-1} $的阶为n
一方面，$ (a^{-1})^m=(a^m)^{-1}=e $ ,因此$ n|m $
另一方面，$ a^n=((a^{-1})^n)^{-1}=e $
因此$ m|n $
所以$ m=n $
(2)设a的阶为m，$ bab^{-1} $的阶为n
一方面，$ (bab^{-1})^m=ba^mb^{-1}=beb^{-1}=e $,因此$ n|m $
另一方面，$ a^n=b^{-1}(bab^{-1})^nb=b^{-1}eb=e $,因此$ m|n $
所以$ m=n $
(3)设$ ab $的阶为m，$ ba $的阶为n
一方面，$ (ba)^m=b(ab)^{m-1}a=b(ab)^{-1}(ab)^ma=a^{-1}ea=e $,因此$ n|m $
另一方面，同理可得$ m|n $
所以$ m=n $
题目3
设G为群，$ a\in G $，a的阶为m,证明：
(1)$ a^k $的阶为$ \dfrac{m}{(m,k)} $
(2)$ a^k $的阶与a的阶相同当且仅当$ (m,k)=1 $
证明：
(1)设$ a^k $的阶为$q,(m,k)=d $
则$ \exists u,v\in \mathbb{Z} ,um+vk=d$,即$ u\frac{m}{d} +v\frac{k}{d}=1,u\frac{mq}{d} +v\frac{kq}{d}=q$
由$ a^k $的阶为q知$ (a^k)^q=a^{kq}=e $,因此$ m|kq ,\frac{m}{d}|\frac{kq}{d}$ ,显然$ \frac{m}{d}|\frac{umq}{d} $,因此$ \frac{m}{d}|q $
另一方面$ (a^k)^{\frac{m}{d}} =(a^m)^{\frac{k}{d}}=e$,因此$ q|\frac{m}{d} $
所以$ q=\frac{m}{d}=\frac{m}{(m,k)}$
(2)$ a^k $的阶与a的阶相同$ \Leftrightarrow \frac{m}{(m,k)}=m \Leftrightarrow (m,k)=1 $
题目4
设G是群，$ a,b\in G ,ab=ba$，$a$的阶为$m$，$b$的阶为$n$，$ (m,n)=1 $，证明：ab的阶为$mn$
证明：
设ab的阶为 q
一方面，$ (ab)^{mn}=a^{mn}b^{mn}=e $，因此$ q|mn $
另一方面：$ a^{nq}=a^{nq}e=a^{nq}b^{nq}=(ab)^{nq}=e $ ，因此$ m|nq $，又$ (m,n)=1 $，所以$ m|q $
同理$ n|q $，又$ (m,n)=1 $，故$ mn|q $
所以$ q=mn $
题目5
群G中，若$ ab=ba $，$a$的阶为m，$b$的阶为n，则$ab$的阶一定为$ [m,n] $吗？($ [m,n] $表示m,n的最小公倍数)
不一定，反例如下
$ \mathbb{Z}_8$中$o(\bar 2)=4,o(\bar 4)=2 $ 且$ \bar 2\cdot \bar 2=\bar 4$，但是$[4,4]=4\neq 2$
题目6
群G中，若$ ab=ba $，a的阶为m，b的阶为n，记$(a),(b)$分别表示由元素$a,b$生成的循环群，若$ (a)\cap (b)=\{e\} $，证明：ab的阶为$ [m,n] $，($ [m,n] $表示m,n的最小公倍数)
证明：
设ab的阶为q，一方面
$ (ab)^q=a^qb^q=e $，所以$ a^q=b^{-q}\in (a)\cap (b)=\{e\}$
故$ a^q=b^q=e $，所以$ m|q,n|q\Rightarrow [m,n]|q $
另一方面$ (ab)^{[m,n]}=a^{[m,n]}b^{[m,n]}=e $，所以$ q|[m,n] $，因此$ q=[m,n] $
题目7
群G中，若$ ab=ba $，a的阶为m，b的阶为n，证明G中必有一个元素的阶为$ [m,n] $，($ [m,n] $表示m,n的最小公倍数)
证明：
对m,n做质因数分解如下：
其中$ \alpha_i,\beta_i\ge 0 $，不妨设$ \alpha_i\ge\beta_i, 1\le i\le s;\alpha_i<\beta_i, s+1\le i\le r $
则
令
由第3题结果知，c的阶为$ p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_s^{\alpha_s} $，d的阶为$ p_{s+1}^{\beta_s+1}\dots p_r^{\beta_r} $，c与d的阶互素
由第4题结果知$ cd $的阶为$p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_s^{\alpha_s}p_{s+1}^{\beta_s+1}\dots p_r^{\beta_r}=[m,n]$
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