抽象代数
群论
群的判定方法
方法一：群的定义
设G是一个非空集合，G上定义了一个二元运算”$\cdot$”，且该二元运算满足如下条件
(1)封闭性：$ \forall x,y \in G,x\cdot y\in G $
(2)结合律：$ \forall x,y,z\in G,(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z) $
(3)幺元：$ \exists e\in G,\forall a\in G,e\cdot a=a\cdot e=a $
(4)逆元：$ \forall a\in G,\exists b\in G,a\cdot b=b\cdot a=e $
则称G关于”$\cdot$”构成群
方法二：群的单边定义
设$G$是一个非空集合，G上定义了一个二元运算”$\cdot$”，且该二元运算满足如下条件
(1)封闭性：$ \forall x,y \in G,x\cdot y\in G $
(2)结合律：$ \forall x,y,z\in G,(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z) $
(3)左幺元：$ \exists e\in G,\forall a\in G,e\cdot a=a $
(4)左逆元：$ \forall a\in G,\exists b\in G,b\cdot a=e $
则称G关于”$\cdot$”构成群
注(3)(4)中左均改成右，结论同样成立
证明：
先证明$ \forall a\in G $,$ a $有右逆元
注意到：$ ab=a(eb)=a(ba)b=(ab)(ab) $
又由(4)$ \exists c\in G,c(ab)=e $
因此
可见$ a $有右逆元,即$ a $有逆元
再证明：$ G $中有右幺元
$ \forall a\in G ,ae=a(ba)=(ab)a=ea=a $
因此$ G $中有右幺元,即$ e $是$ G $的幺元
从而$ G $是群
方法3：群的除法定义
设G是一个半群，若$ \forall a,b\in G$,方程$ ax=b,ya=b $都有解，则G为群
证明：
由条件，$ ax=a $有解$ e_a $,即$ ae_a=a $,下面验证$ e_a $是G中的右幺元
对于 $ \forall b\in G $ 由于$ ya=b $有解，因此$ \exists c\in G,b=ca $
因此，$ b e_a=(ca)e_a=c(a e_a)=ca=b$
即$ e_a $确实是G中的右幺元
下证G中任意元素有右逆元
对于$ \forall b\in G, $由于$ bx=e_a $有解知b有右逆元，故由方法2知G是群
方法4
有限半群若满足左右消去律，则必为群
证明：
设G是有限半群且阶数为n,设$ |G|={a_1,a_2,\cdots,a_n} $
考虑方程$ a_ix=a_j,\forall i,j,1\le i,j \le n $根据左消去律得$ a_ia_1,a_ia_2,\cdots,a_ia_n $互不相同，从而必有一个是$ a_j $，即$ a_ix=a_j $有解$ \forall i,j,1\le i,j \le n $,同理$ xa_i=a_j $也有解$ \forall i,j,1\le i,j \le n $
由群的判定方法3知G为群
方法五
群若有右幺元且满足左消去律，必为群
证明：
设G是有限半群且阶数为n,设$ |G|={a_1,a_2,\cdots,a_n} $
考虑方程$ a_ix=a_j,\forall i,j,1\le i,j \le n $根据左消去律得$ a_ia_1,a_ia_2,\cdots,a_ia_n $互不相同，从而必有一个是$ a_j $，即$ a_ix=a_j $有解从而$a_ix=e $有解，即$ \forall a\in G $,a有右逆元
从而由判定方法2知G为群
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